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杂谈

“少数服从多数”的失败

 

​当反驳“少数服从多数”时,大多数人的第一反应往往是以“真理往往掌握在少数人手中”进行辩论。在《策略思维》第十章“投票的策略”中,作者提出了“少数服从多数”的一种弊端,这种弊端使得在某些场合下可以通过控制投票(选举)的过程决定最后的结果。

以一场有三个候选人的竞选为例。

三个候选人分别是罗伯斯庇尔、丹东和拉法日。人民划分为三个同等规模的集团,分别代表左、中、右,各自的偏好如下表:

表-1

若是罗伯斯庇尔对丹东的选举,那么前者会以2比1的比分胜出。若是罗伯斯庇尔对拉法日的选举,后者会以2比1胜出。不过,换了是拉法日对丹东的选举,则丹东会以2比1胜出。因此,这里并不存在全面超出的胜者。谁将最后胜出,取决于哪一场选举最后进行。更常见的情况是,这样没完没了的循环使我们没有办法确认究竟哪种选择代表了人民的意愿。

若是投票循环包含在一个更大的问题中,事情会变得更加复杂而难以处理。大多数人的意愿可能使每一个人都落得更糟糕的下场。

以一场有七个候选人的选举为例。

选民划分为三个同等规模的集团,分别为左、中、右,各自偏好如下表:

表-2

其中,开心果、糊涂蛋、爱生气之间的循环次序与前文的罗伯斯庇尔、丹东、拉法日之间的循环次序完全相同。

假如我们从开心果对糊涂蛋的选举开始,糊涂蛋胜出,接下来爱生气击败糊涂蛋,喷嚏精又击败爱生气。然后瞌睡虫击败喷嚏精,害羞鬼又击败瞌睡虫,最后是万事通击败害羞鬼。

少数服从多数的投票结果使我们一路经过开心果、糊涂蛋、爱生气直到万事通,而与此同时每一个选民都认为开心果、糊涂蛋和爱生气其实都比万事通更好。

由此可见,存在一个投票循环的事实使最后结果大受投票过程的影响。

这是其一。

更进一步,由上文反向推理,能否根据投票结果反推出三个集团各自的偏好顺序?

为简便起见,分别用A、B、C、D、E、F、G代替开心果、喷嚏精、爱生气、糊涂蛋、万事通、害羞鬼、瞌睡虫。

根据上文选定的投票顺序和投票结果,汇总如下表:

  A B C D E F G
A - 3:0 2:1 1:2 3:0 3:0 3:0
B 0:3 - 2:1 1:2 3:0 2:1 1:2
C 1:2 1:2 - 2:1 3:0 3:0 2:1
D 2:1 2:1 1:2 - 3:0 3:0 3:0
E 0:3 0:3 0:3 0:3 - 2:1 1:2
F 0:3 1:2 0:3 0:3 1:2 - 2:1
G 0:3 2:1 1:2 0:3 2:1 1:2 -

表-3

能否根据上表推算出表-2的结果?以下是推理过程。

根据A、B的投票结果,可推知A在B前面(3:0),即:

  偏好1 偏好2 偏好3
第一选择 A A A
第二选择 B B B

表-4 推理过程1

同理,根据A和C(2:1)、B和C(2:1)的投票结果,可推算如下:

  偏好1 偏好2 偏好3
第一选择 A A C
第二选择 B B A
第三选择 C C B

表-5 推理过程2

如此往复,依次推算如下:

  偏好1 偏好2 偏好3
第一选择 A D C
第二选择 B A D
第三选择 C B A
第四选择 D C B

表-6 推理过程3

  偏好1 偏好2 偏好3
第一选择 A D C
第二选择 B A D
第三选择 C B A
第四选择 D C B
第五选择 E E E

表-7 推理过程4

  偏好1 偏好2 偏好3
第一选择 B G F
第二选择 E B G
第三选择 F E B
第四选择 G F E

表-8 推理过程5

将表-7和表-8结合,最终如下:

  偏好1 偏好2 偏好3
第一选择 A D C
第二选择 B A D
第三选择 C G A
第四选择 D B F
第五选择 E C G
第六选择 F E B
第七选择 G F E

表-9 推理过程6

至此,结果确定且唯一,而最后唯一的问题在于偏好1、偏好2、偏好3与左派、中间派、右派的对应关系。这里通过实际投票的身份信息(如记名投票)便可确定(此处偏好1、偏好2、偏好3分别对应左派、右派、中间派)。

综上,可知:

  1. “少数服从多数”的投票机制并非完美,在存在先后次序和多轮投票的情况下投票过程很容易被操纵。(更多案例分析,请参见《策略思维》一书。)

  2. 根据某些结果是可反向推出个体或群体的偏好的,这在大数据时代,可谓诚惶诚恐……

人性真是一个神奇的东西,而逻辑思维真是一个有用的东西……


公众号:黑匣子思维
 

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